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823-《数学分析》考试大纲

一、考试性质

《数学分析》是基础数学专业、计算数学专业、概率论与数理统计专业、应用数学专业、运筹学与控制论专业、系统理论专业硕士学位研究生入学考试的科目之一。《数学分析》考试要求能反映数学学科的特点，科学、公平、准确地测试考生的基本素质和综合能力，很好地选拔具有科研发展潜力的优秀人才进入硕士阶段学习，为国家培养掌握现代数学方面的基础理论知识，具有较强分析与解决实际问题能力的高层次的应用型的和复合型的数学专业人才。

二、考试要求

考查考生对《数学分析》里的基本概念、基础知识的掌握情况，考察考生的分析能力、计算能力和对知识的综合运用能力。

三、试卷分值、考试时间和答题方式

本科目试卷满分为150分，考试时间为180分钟，答题方式为闭卷、笔试。

四、试题结构

（1）试卷题型结构

填空题：30分

计算题：60分

证明题：60分

（2）内容结构

各部分内容所占分值为

极限论： 约30分

单变量微积分学： 约40分

级数： 约40分

多变量微积分学： 约40分

五、考查的知识及范围

1、变量与函数

函数的概念；复合函数和反函数；基本初等函数

2、极限与连续

数列的极限和无穷大量；函数的极限；连续函数

3、极限续论

关于实数的基本定理；闭区间上连续函数性质

4、导数与微分

导数的引进与定义；简单函数的导数；求导法则；复合函数求导法；微分及其运算；隐函数及参数方程所表示函数的求导法；不可导的函数举例；高阶导数与高阶微分

5、微分学的基本定理及其应用

微分中值定理；泰勒公式；函数的升降、凸性与极值；平面曲线的曲率；待定型；方程的近似解

6、不定积分

不定积分的概念及运算法则；不定积分的计算

7、定积分

定积分概念；定积分存在条件；定积分的性质；定积分计算

8、定积分的应用和近似计算

平面图形面积；曲线的弧长；体积；旋转曲面的面积；质心；平均值、功

9、数项级数

上极限与下极限；级数的收敛性及基本性质；正项级数；任意项级数；绝对收敛级和条件收敛级数的性质；无穷乘积

10、反常积分

无穷限的反常积分；无界函数的反常积分

11、函数项级数、幂级数

函数项级数的一致收敛性；幂级数；逼近定理

12、Fourier级数和Fourier变换

Fourier级数； Fourier变换

13、多元函数的极限与连续

平面点集；多元函数的极限和连续性

14、偏导数和全微分

偏导数和全微分的计算；求复合函数偏导数的链式法则；由方程（组）所确定的函数的求导法；空间曲线的切线与法平面；曲面的切平面与法线；方向导数和梯度；泰勒公式

15、极值和条件极值

极值和最小二乘法；条件极值

16、隐函数存在定理、函数相关

隐函数存在定理；函数行列式的性质、函数相关

17、含参变量积分

含参变量的积分的定义；含参变量的积分的分析性质：连续性定理、积分次序交换定理与积分号下求导定理；含参变量的积分的计算。

18、含参变量的反常积分

参变量的反常积分的一致收敛的定义及判别法：Cauchy收敛原理、Weierstrass判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法；一致收敛积分的分析性质：连续性定理、积分次序交换定理与积分号下求导定理；Beta函数和Gamma函数。

19、积分的定义和性质

二重、三重积分、第一类曲线、第一类曲面积分的概念；积分的性质

20、重积分的计算及应用

二重积分的计算；三重积分的计算；积分在物理上的应用；反常重积分

21、曲线积分和曲面积分的计算

第一类曲线积分的计算；第一类曲面积分的计算；第二类曲线积分；第二类曲面积分

22、各种积分间的联系和场论初步

各种积分间的联系；格林(Green)公式；高斯(Gauss)公式；斯托克司(Stokes)公式；曲线积分和路径的无关性；场论初步